Wahrheitstabelen

kopfvoll - wahrheitstabellen

Nun, da wir die grundlegende Syntax von logischen Formulierungen kennen, können wir die, für Deduktion besonders wichtigen, Wahrheitstabellen aufstellen. Mit einer Wahrheitstabelle kann in kürzester Zeit die Validität einer Argumentation bestätigt oder widerlegt werden. In solch einer Tabelle werden die zutreffende, also wahre, Zustände mit einem T (für true - wahr) oder einem F (false - falsch), aber niemals mit beiden zugleich, beschrieben.
Eine Wahrheitstabelle besteht, in der ersten Reihe, aus den Teilen der Prämissen. Im einfachen Falle einer Aussage, wie: "Es regnet.", wäre die dazugehörige Wahrheitstabelle folgende:

A ¬A
T F
F T

Demnach kann „nicht A“ (¬A) nur zutreffen, wenn „A“ falsch ist, also mit einem F beschrieben wird. Andersherum kann „A“ nur zutreffen, wenn „nicht A“ richtig ist, also mit einem T beschrieben wird. Setzen wir für A = „Es regnet“ ein, wird verdeutlicht, dass es nicht regnen kann, wenn es gleichzeitig nicht regnet.

Wahrheitstabellen sind in ihrer Größe weder auf die Anzahl ihrer Prämissen, noch an in der Vielfalt ihrer Syntaktischen Verbindungen, bzw. Trennungen, beschränkt. Jedwede Aussage kann, solange sie den Voraussetzungen einer Argumentation entspricht, in Syntaktischer Form und daher auch in tabellarischer Form in der Logik repräsentiert werden.
Nehmen wir uns das Beispiel mit einer weiteren Prämisse zur Hand:
 

Es regnet (A) und (∧) es ist kalt (B) = A ∧ B.

Jetzt möchten wir wissen, wann A ∧ B eine wahre Aussage ist und fertigen dafür eine Wahrheitstabelle an. Natürlich wissen wir bereits, dass „Es regnet und es ist kalt“ Nur wahr sein kann, wenn beide Zustände (Regen und Kälte) gleichzeitig erfüllt werden. In tabellarischer Form sieht diese Aussage wie folgt aus:

Es regnet (A) und (∧) es ist kalt (B) = A ∧ B
 

A B A ∧ B
T T T
T F F
F T F
F F F

In der rechten Spalte finden wir den besagten Zustand (A ∧ B = wahr), beschrieben mit einem T. Alle anderen Situationen, in denen entweder der Regen fehlt oder die Kälte oder aber alle beide, sind Falsch und werden beschrieben mit einem F.

In einem anderen Fall, gehen wir davon aus, dass nur einer von zwei Zuständen stimmen kann, zum Beispiel:

Tom ist lang (A) oder (∨) Tom ist schwer (B) = A ∨ B.
 

A B A ∨ B
T T T
T F T
F T T
F F F

Mit dem Verständnis unserer alltäglich zu Rate gezogenen „Laien-Logik“, erscheint uns die Situation der ersten Reihe als Paradox. Wir betrachten das „oder“ als ein Kriterium, welches ein (oder die andere) Option ausschließt. In der Philosophischen Logik, jedoch, Ist (A ∨ B) korrekt, wenn entweder A oder B zutrifft oder aber beide gleichzeitig zutreffen. „Tom ist lang oder Tom ist schwer“ ist nur dann eine falsche Aussage, wenn Tom weder lang noch schwer ist.

Von essentieller Wichtigkeit ist es hier im Voraus zu analysieren, wie das „oder“ gemeint ist. In unserem Beispiel könnte man anmerken, dass lange Menschen von Hause aus schwerer sind als kurze Menschen. Das Gewicht der Knochen in ihrer größeren Masse, zusätzlich zum körperlichen Drumherum, machen lange, also hohe, Menschen im Durchschnitt schwerer. Daher kann bei diesem Beispiel von einem inklusiven „oder“ gesprochen werden. Das inklusive „oder“ ermöglicht es, wie hier in der ersten Reihe, beiden Situationen (A, sowie B) gleichzeitig wahr zu sein. Ein exklusives „oder“ entbehrt sich dieser Möglichkeit, wird aber, zumindest von den meisten Logikern, als das sekundäre „oder“ betrachtet. Wir können also bei der Schreibweise (A ∨ B) davon ausgehen, dass von einem „oder“ die Rede ist, bei dem zwei wahre Zustände gleichzeitig auftreten können.

Ein exklusives „oder“, mit der Schreibweise „xor“, können wir uns wie folgt vorstellen. Im soeben genannten Beispiel mit „A“ und „B“ darf, nach der Regelung des exklusiven „oder“, nur eine von zwei Situationen zutreffen, entweder „A“ oder „B“, aber nicht beide.

Nutzen wir das bis hierhin gelernte und zerlegen den letzten Satz des vorigen Abschnitts:
 

A oder B, aber nicht beide = A oder B und nicht beide = (A oder B) und nicht (A und B) =
(A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B)
 

Als letzten Schritt fertigen wir nun eine Wahrheitstabelle an, um zu verbildlichen, wann das exklusive „oder“ tatsächlich stimmt und wann es nicht stimmt:

(A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B)
 

A B (A ∨ B) ¬ (A ∧ B)
T T T F F T
T F T T T F
F T T T T F
F F F F T F

Hier sehen wir nun, dass die dickgedruckte Spalte des „und“ gleichbedeutend steht für die Optionen des exklusiven „oder“. Es ist nur wahr, wenn entweder „A“ oder „B“, aber nicht beide gleichzeitig.

Also:

A B A xor B
T T F
T F T
F T T
F F F

Im Bereich der Logik gibt es neben den hier genannten (angerissenen) Inhalten auch frei zugängliche umfangreiche Werke, manche schwer verständlich, manche sehr einfach zu verdauen. 
Für die englischsprachigen Leser empfehle ich den Youtube-Channel von Professor Serna. Für ausschließlich deutschsprachige empfehle ich die komplette Playlist von PHoyningen.

kopfvoll - twitter

kopfvoll - facebook

kopfvoll - newsletter


Dustin Jaros
Dustin Jaros

Mein Name ist Dustin Jaros, ich bin Psychologe und arbeite in der psychosozialen Betreuung. Menschen profitieren von meiner Beratung über das Internet (Skype, E-Mail, Spreed) und via Telefon. Damit sind sie oft örtlich unabhängig und können auch ohne viel Aufwand meine Beratung wahrnehmen. Meine Gesprächspartner genießen meine offene, ehrliche und authentische Art. Für Kopfvoll mache ich Fotos, schreibe Texte und kümmere mich um die sozialen Medien (Instagram: @kopfvoll / Facebook: k0pfv0ll).